一、怎么理解积分这个概念？
开门见山，“积分”中的分字，就是微分、微小之意；积就是累积、加起来。顾名思义，积分就是把无穷多个无穷小累加起来合成一个整体。
对于微积分的理解、感悟，友友在《让你从根本上理解：微积分到底是什么?》一文中的留言评价有的非常好，读了让人受益匪浅、思路大开、体会深刻。现摘录几个共大家欣赏、感受、体会（我只是搬运，不代表我的观点哈）。
友友1：微分——用锉刀锉金属；积分——把锉碎的金属拢到一起。
友友2：微积分就是捭阖之术，既无限制地分下去，又可以阖一起。
友友3：微分研究函数局部细节，积分注重整体结果；做人何尝不是这样，持续努力，持续优化改进的人，结果一定也会比较好。
友友4：微积分是研究变化的科学，没有变化就不用微积分。导数是变化规律，无穷小是变化的趋势。积分是变化的累积。微积分是唯物辩证法的数学表现。
二、举例说明什么是微积分
1、初中阶段学过有关速度的公式
用符号表示，有
设想：你在操场上沿跑道跑步，跑了30秒，从100米处跑到了300米处，跑的距离是200米，那么你跑的平均速度约是6.67（米/秒）。
假设：你用大约6.67（米/秒）的速度匀速跑了30秒，则你跑的距离是
S=Vt=6.67Χ30=200（米）
实际情况：一般人跑步不可能一直是用平均速度匀速跑的，总会忽快忽慢，甚至会停下来喘口气。
问题：对于实际情况，跑的距离又该如何计算呢？
2、微积分的基础就是把整体进行分割，然后再求和得到整体
实际情况中，跑步速度随时间一直在变化不定，即速度是时间的函数：V=V(t)，很明显，此时公式1不再适用。
不过，我们可以想办法继续使用公式1。
设跑步从时刻t1开始，到时刻t2停止，从x1处跑到了x2处。
为了使用公式1，可以把从t1到t2时间段分割成n个很小的有限小时间间隔：Δt1, Δt2, Δt3, ……, Δtn。
在每一个有限小时间间隔内，可以近似认为跑步是匀速的，其速度标记为V1, V2, V3, ……, Vn。
这样，在每个有限小时间间隔内，公式1仍然可以使用。对第i个有限小时间间隔Δti，其速度为Vi，字母i表示从1到n任意一个数字。则跑过的距离为
ΔSi≈ViΔti
跑过的总距离，是每个时间间隔内跑过的距离累加起来之和：
S≈ΔS1+ΔS2+……+ΔSi+……+ΔSn
=V1Δt1+ V2Δt2+ ……+ViΔti+……+VnΔtn
上式中的符号Σ是希腊字母，读作：西格玛，表示对后面内容求和的意思。
3、定积分
为了尽量减小近似计算带来的误差，很显然，分割出来的有限小时间间隔Δt越小越好，也即分割出来的Δt数量n越大越好。
越小越好的极限就是有限小变成无限小，无限小趋于0；n越大越好的极限就是n趋于无穷大∞。
当时间间隔Δt由有限小变成无限小时，我们知道公式2中的符号Δ应该换写成d；那么求和号Σ也不能原样不动，需要换个符号表示。
“求和”一词在英文中的词汇是sum，那么就把sum第一个字母S变形，写成ʃ的样子，表示对无穷多个无穷小求和的符号，称为积分号。
那么，公式2就可以改写成
t1、t2分别称为积分的下限、上限。
公式3表示的积分，由于自变量有上、下限，这个积分有确定的值，故称为定积分。
4、积分效应
积分效应又称为累积效应，它最初用于对环境的影响评价。
人类活动或者自然变化在短时间内、或者偶尔出现，对环境产生的影响可能微不足道、不明显而被忽视或压根儿就察觉不到。但这些活动、变化如果次数多了或者持续时间长了，在长时间或者较大空间范围的影响就会逐渐显现出来。
比如大雾、空气污染等就是如此。
下图是清明节前，由于下雨而形成的大雾。
伸出手，看自己的手是清晰的，察觉不到雾的存在。但是大家都知道在眼睛和手之间雾是存在的，只是太过稀薄看不到罢了。随着距离的增加，雾对光的散射吸收作用逐渐明显，直到远处楼房、景物完全被雾遮挡，这就是雾的积分效应。
5、积分例题、不定积分
导数
求原函数f(t)。
解：由原题，有
df(t)=2tdt
对上式两边积分，有
上式左边是对f(t)先微分，再积分，所以还是原来的函数f(t)
上式右边，由导数公式
将（2）式代入（1）式：
即原函数
上面积分时没有确定上下限，这样的积分称为不定积分，字母C是任意常数。
因为常数的导数等于0，故对于任意常数C，上面求出的原函数的导数都一样，是2t。
如果确定了积分区间[t1,t2]，则
与导数公式一样，常用积分公式也需要熟记，方便以后直接使用。
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